Corona und etwas Mathematik

von
Urs Kirchgraber

Kaffeesatz lesen, Karten befragen, den rechten Zeigefinger befeuchten und in die Luft recken, sein Bauchgefühl sprechen lassen – alles mehr oder minder fleissig praktizierte Vorgehensweisen, um Prognosen zu machen. Über dies und das: Die Börse, den nächsten Winter, das persönliche Glück … Seit ungefähr Mitte März ist eine bange Frage, die nach Vorhersagen ruft, dazu gekommen: Die Ausbreitung der Covid-19-Erkrankung.

Vor 333 Jahren, 1687, veröffentlichte Isaac Newton (1642-1727) zwei Hypothesen: Das sogenannte Grundgesetz der Mechanik und das oft nach ihm benannte sogenannte Gravitationsgesetz. Legt man die beiden Hypothesen zu Grunde, übersetzen sich viele Bewegungsprobleme, vom Flug eines Diskus bis zu Missionen mit Raumfahrzeugen im Weltraum, etwa eine Reise zum Mond, in mathematische Aufgaben.

Newtons Vorgehensweise hatte (und hat) paradigmatische Bedeutung. Sie ist insbesondere im gesamten Bereich der Physik so erfolgreich, dass sie den theoretischen Physiker und Nobelpreisträger Eugene Wigner (1902-1995) zu seinem berühmt gewordenen Aufsatz mit dem Titel «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences» anregte. Und man wundert sich nicht, dass auch ausserhalb der Physik versucht wurde und wird, Prognosen auf der Grundlage von mathematischen Hypothesen oder sogenannten mathematischen Modellen, wie man heute gern sagt, zu machen.

Die Stärke von Newtons Methodik liegt darin, dass mit der Mathematik das wohl mächtigste Instrument zu Verfügung steht, um aus einmal gesetzten Hypothesen mit hoher Zuverlässigkeit Folgerungen zu ziehen.

Es ist dabei allerdings zu beachten, dass damit nichts über die Gültigkeit der jeweiligen Hypothesen gesagt ist. Die benutzte Mathematik mag noch so eindrücklich, die Schlussfolgerungen, die gezogen werden, noch so scharfsinnig sein, ob die gewonnenen Ergebnisse aus Sicht des zu Grunde liegenden Anwendungsgebiets Bedeutung haben, ist eine Frage der Adäquatheit der Hypothesen und kann nicht innerhalb der Mathematik entschieden werden.

Versuche, die Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit mathematischen Mitteln besser zu verstehen, haben eine schon ziemlich lange Geschichte. Ein erstes mathematisches Modell schlug 1760 schon Daniel Bernoulli (1700-1782) vor. Sehr bekannt geworden ist das sogenannte SIR-Modell von William Ogilvy Kermack (1898-1970) und Anderson Gray McKendrick (1876-1943) aus dem Jahr 1927.

Das SIR-Modell: S = Gesund, aber nicht immun, eine Infektion ist möglich, I = Infiziert, R = Geheilt

Das SIR-Modell von Kermack und McKendrick wurde verschiedentlich, via einen «best fit», mit realen Daten in Zusammenhang gebracht, so mit dem Datenmaterial der Pestepidemie in Mumbay von 1905/06 durch Kermack und McKendrick selbst, sowie mit einem Grippeausbruch in einem Internat in England, publiziert im British Medical Journal im März 1978. Das Modell erwies sich als brauchbar. Allerdings ist die folgende grundsätzliche Einschränkung von Reinhard Schuster (1956*) in seinem Buch «Grundkurs Biomathematik», 1995, p. 143, zu beachten:

«Modelle in der Biologie und Medizin haben in der Regel einen weniger endgültigen Charakter als in der Physik. Zu viele Einflüsse müssen zunächst vernachlässigt werden, mit zunehmender Einsicht ergeben sich notwendige Verfeinerungen. Ein gutes Modell beschreibt die bekannten Erscheinungen in einer möglichen, aber durchaus nicht zwingenden Variante und sollte biologisch relevante Vorhersagen geben, die nicht ohnehin klar sind.»

Aber auch Hansueli Schöchli (1963*) hat recht, wenn er in seinem «Reflexe»-Beitrag «Mathematik kann Leben retten» in der NZZ vom 22. April 2020 zur Tatsache, dass sich unterschiedliche mathematische Modelle in ihren Schlussfolgerungen unterscheiden, ja widersprechen können, schreibt: «Dies spricht nicht gegen die Verwendung von Modellen. Denn eine wacklige Modellschätzung mit offen gelegten Annahmen ist immer noch viel besser als eine Serie weitreichender Entscheide aufgrund diffuser Bauchgefühle

Im beiliegenden PDF stelle ich ein einfaches Modell für die Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit vor und untersuche es mathematisch. Es soll eine Art Kostprobe für das Bilden und Analysieren eines mathematischen Modells sein – mit dem Flair des Themas. Seine Praxisrelevanz bedürfte einer weitergehenden Untersuchung, u.a. anhand von realen Daten.

 

Urs Kirchgraber bei VHS

Prof. em. Dr. Urs Kirchgraber

Urs Kirchgraber besuchte in Zürich die üblichen Schulen, studierte anschliessend Mathematik und Physik an der ETH Zürich und schloss 1972 mit dem Doktorat ab. In der Folge wirkte er als Oberassistent und wissenschaftlicher Adjunkt an der ETH und absolvierte zahlreiche Gastaufenthalte im europäischen Ausland und in Übersee.

Von 1988 bis zu seiner Emeritierung 2011 war er Professor für Mathematik an der ETH Zürich. In dieser Funktion leitete er die fachdidaktische Ausbildung von zukünftigen Mathematiklehrpersonen für die Gymnasialstufe. Das mathematische Forschungsgebiet von Urs Kirchgraber war die Theorie der Gewöhnlichen Differenzialgleichungen und Dynamischen Systeme.

(Bild: Giorgio von Arb, Fotograf)